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第200章导数的应用实例
经过前面对于导数知识的系统学习,学子们已经掌握了常见函数的导数计算方法。这一天,戴浩文决定通过具体的应用题,让学子们更加深入地理解导数的实际应用。
戴浩文站在讲堂上,目光中充满期待地看着学子们,说道:“同学们,咱们已经学习了不少导数的知识,今天咱们就来看看这些知识在实际问题中的神奇作用。”
他转身在黑板上写下一道题目:“假设有一物体沿着直线运动,其位移与时间的关系为s=t3-6t2+9t+5,求在t=2时的瞬时速度。”
写完题目,戴浩文问道:“谁能来说说这道题该怎么入手?”
一位学子站起来回答:“先生,我们需要先求出位移函数的导数,导数就是速度函数。”
戴浩文满意地点点头:“不错,那咱们一起来求一下。”
经过一番计算,得出速度函数v=3t2-12t+9。
戴浩文接着问:“那t=2时的速度是多少呢?”
学子们纷纷动笔计算,不一会儿,就有声音回答:“是-3。”
戴浩文笑着说:“很好,那咱们再来看下一道题。”
他又在黑板上写下:“一个工厂生产某种产品,其成本函数为C=2x2+5x+100,产量为x件。当产量为10件时,求边际成本。”
看到学子们面露难色,戴浩文提示道:“大家想想,边际成本是什么和导数的关系?”
一位学子恍然大悟:“先生,边际成本就是成本函数的导数!”
戴浩文赞许地说:“对!那咱们来求一下导数。”
经过计算,成本函数的导数为C=4x+5。
戴浩文问道:“那当x=10时,边际成本是多少?”
学子们很快算出答案:“45。”
戴浩文继续出题:“现在有一个矩形,其周长为20,设长为x,面积为y,求面积最大时矩形的长和宽。”
学子们开始分组讨论,教室里响起了热烈的讨论声。
过了一会儿,一组代表发言:“先生,我们设宽为10-x,面积y=x(10-x),然后求导找极值。”
戴浩文鼓励道:“非常好,那咱们来求导看看。”
一番计算后,得出导数为10-2x,令其等于0,解得x=5。
戴浩文总结道:“所以当长和宽都为5时,面积最大。大家明白了吗?”
学子们齐声回答:“明白了!”
“那咱们再来看这道题。”戴浩文又写道:“已知某商品的需求函数为Q=20-2P,其中Q为需求量,P为价格。求价格为5时的需求弹性。”
这次学子们思考的时间更长了,戴浩文在教室里走动,不时听听各个小组的讨论,给予一些指导。
终于,有学子算出了结果:“先生,是-23。”
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