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大型国际赛事上面,六道题目总共84分,总共得了二十分的也不在少数,这还是每个国家最精英尖锐的学生。
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松鼠这道题目这是一道比较困难的组合题,出在第二天的第二道题目中,可事实上却有着第三题左右的难度。
在圆周上交换位置的问题在竞赛中并不少见,这类题型的困难之处在于,每个小结论看起来都并不难,但是由于能够得到不少看起来有用或无用的小结论,怎样从当中筛选出对解题真正有帮助的那几个结论拼在一一起,这需要考生比较维密的逻辑能力。
这类题更像是“会者不难,难者不会”,有可能可以很快做出,可一旦陷入死胡同后想要再做出来就比较困难了。
台下六人,目前只有陈灵婴是那个“会者不难”的存在。
证明一:
假设结论不真。
在第k次操作中,如果交换的核桃的编号均小于k,则称太是“大”的:如果编号均大于k,则称k是“小”的。大的编号的核桃称为“大核桃”,小的编号的核桃称为“小核桃”。
我们依次指出如下的几个结论:
(1)如果k是大的,那么在第k次操作之后,编号为k的核桃不会再被交换。
假设k号核桃在第k次操作之后首次被交换是在第m次操作中,不妨设第m次操作前,m号核桃在k号核桃的左侧。我们设第k次操作后,n号核桃在k号核桃的左侧。则n<k。
对于k<j<m,如果第j次操作将q号核桃与当时在k号核桃左侧的p号核桃交换,那么p<j,即可推出q<j.那么,通过递推我们便可以知道,k号核桃左侧的核桃的编号-定比当前的操作轮次要少,也就是说,第m-1次操作后,k号核桃左侧的核桃编号定小于m-1.这与我们的假设矛盾。
(2)不存在大的数ij,使得第i次操作中交换了j号核桃。看则,由于i是大的,因此有j<i这与(1)矛盾.
(3)不存在小的数i,j,使得第i次操作中交换了j号核桃。否则,由于i是小的,因此有j>i。
我们说明,在第p(i<p≤)次操作前,始终有编号小于p的核桃与j号核桃相邻对p施行归纳法pu003di+1显然假设第p次操作前有编号小于p的核桃与j号核桃相邻,那么第p次操作有三种可能:
未交换这两个核桃,则结论对p+1依然成立:交换了j号核桃,则p号核桃与j号核桃相邻,结论对p+1成立,交换了编号小于p的那个核桃,那么交换来的核桃编号必须依然小于p。结论对p+1仍成立。
因此,在第j次操作时,j号核桃旁有编号小于j的核桃这与j是小的产生矛盾。
(4)起初放着大核桃的位置,最终也放着大核桃;起初放着小核桃的位置,最终也放着小核桃,此由(2)(3),可知每次都是大核桃与大核桃交换,小核桃与小核桃交换.继面结论(4)成立。
(5)对于每个位置,都存在一个k,使得第k次交换时,k号核桃在这个位置。
如若结论不成立,那么当这个位置放着编号为r的核桃时,一定会在第r次操作前的某一次操作,将r号核桃交换走.那么,交换来的核桃的编号依然大于当前的操作轮次,换言之,该位置上的核桃编号始终大于当前的操作轮次。这是不可接下来我们来导出最终的矛盾。
由于2021是奇数,因此起初定存在两个大核桃相邻,或两个小核桃相邻。
由结论(5),一定存在某一刻,使得这两个位置上分别放有编号为a和b的核桃,且接下来是第a次操作。结合结论(2)、(3)、(4),这便产生了矛盾!
于是,最初的假设不成立,原结论失证。
答案非常长,只单单一种证明方式就有大几百字,a4纸满满写了两张,陈灵婴揉揉手腕,觉得这道题目实在是出的有技术含量。
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