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第232章 又是马飞吐槽数学 马负乘背地学习 马涛答疑解惑 焦某人沉默的一天（第1页）

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5.3定积分的换元积分法与分部积分法

【回顾】【不定积分的换元积分法】【不定积分分部积分法】

一、换元积分法

Th，f（x）∈C[a，b]，x=φ（t）满足：

①φ（t）单调函数，且φ（α）=a，φ（β）=b；

②x=φ（t）连续可导，则

∫【a，b】f（x）dx

=∫【α，β】f[φ（x）]φ（x）dt

【证明】【……左边=……右边=……】

【例1】【例2】【例3】

重点【例4】f（x）∈C[-a，a]，证：

①∫【-a，a】f（x）dx=∫【0，a】[f（-x）+f（x）]dx；

②若f（-x）=f（x），则

∫【-a，a】f（x）dx=2∫【0，a】f（x）dx；

③若f（-x）=-f（x），则

∫【-a，a】f（x）dx=0.

【例5】

【例6】f（x）∈C[0，1]，证：

①∫【0，π2】f（sinx）dx

=∫【0，π2】f（cosx）dx

②∫【0，π】xf（sinx）dx

=π2∫【0，π】f（sinx）dx

【注解】

①要证明一个积分限为[-a，0]变成积分限为[0，a]的，作x=-t变换

②证明积分限[a，b]不变的，作x+t=a+b

③证明[a，a+b]变成[0，b]的，作x-a=t

【例7】

【例8】设f（x），以T为周期，证：

①∫【a，a+T】f（x）dx=∫【0，T】f（x）dx【周期函数定积分的平移性质】

②∫【0，nT】f（x）dx=n∫【0，T】f（x）dx.

二、分部积分法

∫【a，b】udv=uv|【a，b】-∫【a，b】vdu

【例1】【例2】

【重要】【例3】令In=∫【0，π2】sin^（n）xdx=∫【0，π2】cos^（n）xdx.

证：In=[（n-1）n]I（n-?）

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