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第53章数学城(5)
同时,皮亚诺的另一个贡献也是大大加强了我们的数学基础,那就是符号逻辑学。
有一首古老的英语民歌,描述走出野蛮的人类最常做的三件事:
***Reading,读啊!
Writing,写啊!
Rithmetic,算啊!***(摘自丹齐克著《数科学的语言》第16页)
这三个最普通的人类行为,都和各个人群所使用的自然语言相关。而算啊!通常就是指的算术运算。这就把我们引向了算术,引向了数学家对于算术基础的研究。刚刚接触过德国的戴德金,现在,我们的算术旅程向东进发,从德国移向意大利,从德国的戴德金东行至意大利的数学家皮亚诺。
皮亚诺的算术理论,看他的那本《用新方法呈现的算术原理》一文,他给出了一套约定符号。皮亚诺的这个符号约定,把我的思路发散开了。如开首的那几句短诗,“读啊!写啊!”所言,这读的写的,常常不就是各自的母语,各种各样的自然语言么?我从算术的语言,很自然地想到了自然语言。
自然语言,包括其文字,其实就是一个约定,自然语言无非是某个共同地域人群,通过约定俗成而用于沟通的工具。无论哪一种自然语言,都是长时期不断通约的结果。到了近现代,国家权力与民族认同的需要,就出现周有光老先生谈论世界范围内的语言文字时,所言的诸多情形:
***新兴国家要求创制文字,多民族国家要求调整文字,文字不适用的国家要求改革文字,国际团体和国际会议要求规定公用文字。***(周有光《世界文字发展史》第21页)
这样,语言文字,因权力的参与而需要的约定就更多了。只要是语言文字,也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意义在内。由此,因公共圈地的范围不同,而语言文字也就各不相同。周先生没有提到科学家所创制的语言文字,他仅就国家层面讨论自然语言的文字通约。如果把语言文字的范围放得更宽一些,近现代科学的符号体系,其实也是语言的范畴,就像人们把数字看作是科学的语言那样。皮亚诺为算术引入的一套符号结构,不就是一套算数语言么?不过,这个语言需要自然语言在其中同时参和才行,这就如同计算机语言一样,在自然语言基础上构造的计算机语言,才是人们可以理解的专业语言。
第一皮亚诺给最普通的算术做了一套符号语言。这个前面已经说了。不再赘述。
我要重点说的是第二:皮亚诺算术原理中的两个符号图表:逻辑的,算术的,还有关系的等等。
人类创造了近乎万种的自然语言,习用某种自然语言,就是去遵守某种语言约定。但从自然语言延伸到专业化的人工语言,你至少得遵守两重约定,一是自然语言的约定。你总是用自然语言来解释那些符号。你还还需要遵守进一步的约定,那个系统语言本身的约定。依据数学系统的本性,数学需要精准,自然语言却总是模糊多义,歧义连连,受到种种内外环境的制约。因此,这就总是引诱学者要想办法去掉自然语言的这个毛病,弗雷格的概念语言起源于此,皮亚诺的算术语言,这大概也是一个重要诱因。你要保证一个数学系统的协调一致,对于表达数学观念的字符,一定得需要相对精准的语词含义。其实这也有点公理的意味,大家约定好这个符号是个什么意思,就得遵守这个约定,不要超越这个约定的含义。所以,公理是大家都认可,无需证明就得集体遵守的规矩。
而符号的约定呢,也是一个公字,且称之为公约,大家全都约定要遵守的东西。
皮亚诺的符号约定,相当于自然语言的词典基本词汇。
有了基本词汇,然后就有了后面的那些句子,以及更多的派生词汇。(摘自《皮亚诺的算术,符号创造还是发现?过客与生命之树———读皮亚诺之二》)
(本章完)
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