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徐生洲像只待产的猫儿,火急火燎回到房间,甩掉脚上的鞋,从书包里扯出一沓白纸、一支签字笔,就伏在桌子上快速地推导起来。
禅宗修行第一境,是看山是山、看水是水。
其实人类从古至今、从小到大,莫不如此。所以书上才说,人类最早认识自然规律使用的研究方法是观察法。
到第二境“看山不是山,看水不是水”,那就需要一个转换。
转换是最难的,意味着要把熟悉的变成不熟悉的(即文学理论中的“陌生化”)、把不熟悉的变成熟悉的。而后者最为数学家所喜爱,也是数学家最常使用的工具。比如“割圆术”,圆周率π很难求,那就通过计算圆内接正多边形的面积,用去无限逼近圆面积,以此求取圆周率。
很多数学问题的解决思路也是如此,即通过合适的方法,把难以解决的问题转换成容易解决或已经解决的问题。
以前有个笑话,说数学家厌倦了数学,于是跑到消防队应聘。消防队长说:“可以,但要先做个培训。”然后把数学家带到训练场地。
场地附近有一个仓库、一个剧院、一只消火栓和一卷软管。消防队长介绍道:“如果仓库、剧院同时着火,我们会先救剧院、再救仓库,因为人的生命是最重要的,其次才是财物。明白吗?”
数学家道:“明白。”
消防队长点点头:“好!现在假如仓库着火,你该怎么办?”
数学家不假思索地回答道:“我会把剧场点着。”
消防队长跳了起来:“天哪,你疯了!为什么要把剧场点着?”
数学家理所当然地说道:“如此一来,我就把未知的问题转化成一个我们已经解决过的问题。”
但难点在于如何找到一种合适的转换方法。事实上,每找到一个完美有效的转换方法,都是数学史和数学思想史上的一次飞跃,进而对人类科学技术发展起到巨大的推动作用。
可以这么说,凡是变换,都是非常牛啤的存在!!
比如傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换这3大变换(当然还包括这3大变换的逆变换,即傅里叶逆变换、拉普拉斯逆变换、逆z变换),学理工科的几乎无人不知,它们是现今计算机、通讯、信号处理等领域的坚实基础。而3大变换的核心都是变未知为已知、变难求为易求。
像傅里叶变换,是将满足一定条件的某个函数,转换成三角函数或者它们的积分的线性组合。
像拉普拉斯变换,是将一个有参数实数t的函数,转换为一个参数为复数s的函数。
像z变换,是将时域信号(即离散时间序列),转换为在复频域的表达式。
徐生洲之前遇到的拦路虎,就是缺乏一个合适的变换,把两边等价起来。经过那张墙报的提醒,他敏锐预感到,解决自己问题的关键就是朗兰兹纲领!
朗兰兹纲领,是上世纪六十年代,年仅30岁的加麻大数学家罗伯特·朗兰兹给漂亮国数学家安德烈·韦伊的一封信里提出的。他认为,数论、代数几何和群表示论这三个相对独立发展起来的数学分支,其实具有本质联系。
具体是怎么联系起来的?
当时还不太清楚。
但朗兰兹纲领的重要性却是有目共睹的,它有点像数学领域的“大统一理论”,即用一个统一的视角,将三个数学分支联系起来,其核心就是变换与等价。通过朗兰兹纲领的框架,许多传统数论中的难题,都可以转化为表示论或其他领域中的问题,从而以新的视角和工具加以解决。
比如怀尔斯证明费马大定理,就是借鉴了朗兰兹纲领中的思想,将椭圆曲线和模形式联系起来,并最终通过这些联系取得成功。
经过无数顶尖数学家的不懈努力,朗兰兹纲领不断往前推进。
最后大家都卡在了怎样找到一个等价关系,将代数曲线x上的g-丛(代数空间g上的纤维丛,其纤维是g的副本)的d-模(某些空间上的微分方程的解)范畴与朗兰兹对偶群??的局部系统的d-h范畴(包含了所有d-上同调对象)联系起来。
于是全世界各位大佬、各路神仙都绞尽脑汁,寻找并证明合适的等价关系,以期完成朗兰兹纲领的最后一块拼图。
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